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Résumé

Chapitre 1

Logique, ensembles, arithmétique ………………. 1

Logique des prédicats du premier ordre . . . . .
1

Paradoxes de la théorie « naïve » des ensembles .
2

Image directe et image réciproque d’une partie.
3

Ensembles équipotents . . . . . . .
4

Relations binaires fondamentales .
8

Ensembles ordonnés . . . . . . .
9

Treillis ………….. .
11

Bon ordre et axiome du choix.
14

Arithmétique ………. .
15

Chapitre 2

Groupes ………………………………….. 17

Lois de composition interne . . . . .
17

Axiomes de la structure de groupe .
19

Centre d’un groupe ……… .
21

Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . .
22

Ordre d’un élément dans un groupe .
25

Morphismes et isomorphismes de groupes
28

Groupes simples et groupes résolubles
30

Chapitre 3

Anneaux et corps
33

Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 34

Eléments inversibles et diviseurs de zéro …………….. 35

Anneau des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . 37

Caractéristique d’un anneau non nul
42

Idéaux d’un anneau non nul …..
43

Divisibilité dans un anneau intègre
47

Autres types d’anneaux.
51

Corps ….. .
56

Corps ordonnés
57

Chapitre 4

Espaces vectoriels …………………………… 60

Nécessité des axiomes ………. .
61

Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 62

Endomorphismes d’un espace vectoriel ………….. . 64

Valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique

et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67